Strang 2.2: problemas 9 e 25 resolvidos

Introduction to Linear Algebra, 4ª ed. · turing · para o Lucas, 27/09 · mexa nos controles: a interação é metade da explicação

Problema 9

What test on b₁ and b₂ decides whether these two equations allow a solution? How many solutions will they have? Draw the column picture for b = (1, 2) and (1, 0).

3x − 2y = b₁ 6x − 4y = b₂

Passo 1 · A eliminação dá o teste

O multiplicador é ℓ₂₁ = 6/3 = 2. Subtraindo 2 × (equação 1) da equação 2:

(6x − 4y) − 2(3x − 2y) = b₂ − 2b₁ ⟹ 0x + 0y = b₂ − 2b₁

O lado esquerdo sumiu inteiro, então não existe segundo pivô e o sistema é singular. Sobram dois casos:

Se…	a 2ª equação vira	soluções
b₂ = 2b₁	0 = 0 (sempre verdade)	infinitas: sobra uma equação, 3x − 2y = b₁, para duas incógnitas
b₂ ≠ 2b₁	0 = (número ≠ 0) (impossível)	nenhuma

O teste é b₂ = 2b₁. E nunca há exatamente uma solução, porque isso exigiria dois pivôs. No seu scan esses dois casos saíram invertidos.

No caso infinito, y é livre (pode ser qualquer número) e x = (b₁ + 2y)/3.

Passo 2 · A figura das linhas (a que você já conhece)

Cada equação é uma reta. As duas têm a mesma inclinação, porque 6x − 4y é o dobro de 3x − 2y. Então são paralelas ou são a mesma reta. Se a 2ª equação for exatamente o dobro da 1ª, inclusive do lado direito (b₂ = 2b₁), as retas coincidem e todos os pontos servem. Se não, são paralelas separadas e não se encontram.

É aqui que o problema 8 escorregou. "Retas paralelas" quer dizer zero soluções. "Mesma reta" quer dizer infinitas. Na eliminação a diferença é o lado direito: 0 = 0 ou 0 = 5.

Passo 3 · A figura das colunas (a que faltava)

O mesmo sistema, lido por colunas, é uma pergunta sobre vetores:

x · (3, 6) + y · (−2, −4) = (b₁, b₂)

"Quanto de cada coluna somar para chegar em b?" O detalhe decisivo: (−2, −4) = −⅔ · (3, 6). As duas colunas estão na mesma reta, a que passa pela origem na direção (1, 2). Então qualquer soma delas também fica nessa reta. Na verdade a conta mostra que toda combinação é

x(3, 6) + y(−2, −4) = (3x − 2y) · (1, 2)

um múltiplo de (1, 2), e nada mais. Teste abaixo.

Os quatro botões chegam todos em b = (1, 2). São infinitas maneiras de chegar lá: todas as com 3x − 2y = 1. Tente agora chegar em b = (1, 0). Não dá, porque a ponta preta nunca sai da reta tracejada, e (1, 0) está fora dela.

A mesma resposta de três jeitos.

Eliminação: sobra 0 = b₂ − 2b₁.
Linhas: as retas são a mesma ou são paralelas.
Colunas: b está ou não está na reta onde as colunas vivem.

"b₂ = 2b₁" é exatamente "b é múltiplo de (1, 2)", ou seja, "b está na reta das colunas". O capítulo 3 vai dar nome a essa reta: é o espaço coluna de A. Ax = b tem solução exatamente quando b está no espaço coluna.

Problema 25

For which three numbers a will elimination fail to give three pivots?

A = [ a 2 3 ; a a 4 ; a a a ] is singular for three values of a.

Passo 1 · Primeira coluna

O 1º pivô é a. Supondo a ≠ 0, os multiplicadores são ℓ₂₁ = a/a = 1 e ℓ₃₁ = a/a = 1. Então é só subtrair a linha 1 inteira das linhas 2 e 3:

L2 − L1 = (a − a, a − 2, 4 − 3) = (0, a − 2, 1)
L3 − L1 = (a − a, a − 2, a − 3) = (0, a − 2, a − 3)

Passo 2 · Segunda coluna

O 2º pivô é a − 2. Supondo a ≠ 2, o multiplicador é ℓ₃₂ = (a − 2)/(a − 2) = 1:

L3 − L2 = (0, 0, (a − 3) − 1) = (0, 0, a − 4)

Passo 3 · O resultado

U = [ a 2 3 ; 0 a−2 1 ; 0 0 a−4 ] ⟹ pivôs a, a − 2, a − 4

A eliminação falha quando algum pivô é zero: a = 0, a = 2 ou a = 4. Mexa no a e veja qual pivô zera:

A = → U =

Os três fracassos são diferentes, e vale entender cada um

a	O que acontece	Troca de linha salva?
0	A primeira coluna inteira é (0, 0, 0). Não há nada para ser pivô na coluna 1.	Não. Trocar linhas só troca zero por zero.
2	Depois do passo 1, as linhas 2 e 3 são (0, 0, 1) e (0, 0, −1): a coluna 2 zerou abaixo do 1º pivô.	Não. As duas linhas têm zero na coluna 2.
4	Os dois primeiros pivôs existem (4 e 2), mas o último sai a − 4 = 0.	Não. Não sobra linha para trocar.

A confirmação independente é o determinante, que o Strang só mostra no capítulo 5. Ele é o produto dos pivôs: det A = a(a − 2)(a − 4). Zera exatamente em 0, 2 e 4. Em a = 8/3 ele vale −64/27 ≠ 0: a matriz é invertível e a eliminação funciona. Use o botão "a = 8/3" para ver.

Por que a conta com a é mais fácil do que parece. Com letras, a tentação é expandir tudo. Mas repare que os multiplicadores deram 1 todas as vezes (a/a e (a−2)/(a−2)). A eliminação foi só "subtrair a linha de cima", sem nenhuma fração. Antes de expandir, olhe se o multiplicador simplifica.

Agora você (no papel, sem voltar aqui)

9′. Para x − 3y = b₁ e −2x + 6y = b₂: (a) qual é o teste em b₁, b₂? (b) Desenhe a figura das colunas e diga quantas soluções há para b = (1, −2) e para b = (1, 1). (c) Para o b que tem solução, dê duas soluções diferentes e confira substituindo.

25′. Para A = [ a 1 1 ; a a 1 ; a a a ]: ache os pivôs. Para quais valores de a a eliminação falha? São três valores, como no 25, ou menos? Por quê?

Respostas (só depois de fazer)

9′. L2 + 2·L1 dá 0 = b₂ + 2b₁. O teste é b₂ = −2b₁. As colunas (1, −2) e (−3, 6) estão ambas na reta de (1, −2). b = (1, −2) está na reta: infinitas soluções, por exemplo (1, 0) e (4, 1). b = (1, 1) está fora: nenhuma solução.

25′. L2 − L1 = (0, a − 1, 0), L3 − L1 = (0, a − 1, a − 1), L3 − L2 = (0, 0, a − 1). Os pivôs são a, a − 1, a − 1. Falha só em a = 0 e a = 1, dois valores, porque o a − 1 aparece duas vezes. O determinante é a(a − 1)², com raiz dupla.

Escaneie na pasta do dia, com a confiança marcada.