Teste de continuidade: fechamento do cap. 3

Guidorizzi vol. 1, cap. 3 · turing · 26/09/2026 · sem gabarito, a correção vem do scan

Sessão 1 · data ____/____ · ____:____ → ____:____ Sessão 2 · data ____/____ · ____:____ → ____:____
Regras do teste
  1. Sem consulta. Nada de livro, lista, vídeo ou ChatGPT. Quero ver o que é seu.
  2. Se travar, escreva onde travou e siga em frente. Uma linha como "não sei limitar |x+2|" vale mais que a folha em branco.
  3. Nas provas, separe o rascunho da prova (uma linha divide os dois). O rascunho vai de trás pra frente, achando o δ. A prova vai de frente pra trás.
  4. Em cada questão, marque a confiança: 1 = chutei · 2 = acho que está certo · 3 = tenho certeza.
  5. Duas sessões. A sessão 1 vai da questão 1 à 7, a sessão 2 da 8 à 13. Pode ser em dias diferentes. Anote início e fim de cada uma.
  6. Pro scan: use folha avulsa, caneta escura e escreva o número da questão no topo. Numere as folhas.

I · A definição (de memória)

1. Escreva a definição de "f é contínua em p", com todos os quantificadores e sem pular o "x ∈ Df". Depois escreva a negação dela, símbolo por símbolo: "f não é contínua em p ⟺ …". confiança: 1 · 2 · 3

II · Achar o δ (cálculo bruto)

2. (Ex. 3.2.24 do livro.) Seja f(x) = x³ + x.
  1. Verifique que, para 0 ≤ x ≤ 3, vale |f(x) − f(2)| ≤ 20·|x − 2|.
  2. Conclua que f é contínua em 2. Diga explicitamente qual é o δ em função de ε e por que ele tem um "mín".
confiança: 1 · 2 · 3
3. (Ex. 3.2.23 do livro.) Seja f(x) = x + 1/x.
  1. Verifique que, para x > 0, vale |f(x) − f(1)| ≤ (1 + 1/x)·|x − 1|. Diga em qual passo entra a desigualdade triangular.
  2. Verifique que, para x > 1/2, vale |f(x) − f(1)| ≤ 3·|x − 1|.
  3. Conclua que f é contínua em 1.
confiança: 1 · 2 · 3
4. Prove pela definição que f(x) = √x é contínua em p = 4. confiança: 1 · 2 · 3
5. Prove pela definição que f(x) = 1/(x − 3) é contínua em p = 4. Antes da prova, responda em uma frase: a restrição habitual "δ ≤ 1" serve aqui? Por quê? confiança: 1 · 2 · 3

III · A técnica como teorema (desigualdade triangular)

6. Sejam f e g contínuas em p. Prove direto da definição que f + g é contínua em p. Explique de onde vem o "2" do ε/2. confiança: 1 · 2 · 3
7.
  1. Prove que ||a| − |b|| ≤ |a − b| para quaisquer reais a, b.
  2. Use (a) para provar: se f é contínua em p, então |f| é contínua em p.
  3. A recíproca vale? Prove ou dê um contraexemplo.
confiança: 1 · 2 · 3

— Sessão 2 — (questões 8 a 13)

8. (Conservação do sinal.) Suponha f contínua em p e f(p) > 0. Prove que existe δ > 0 tal que f(x) > 0 para todo x ∈ Df com |x − p| < δ. Diga qual ε você escolheu e por quê. confiança: 1 · 2 · 3

IV · Ler a definição por dentro

9. Seja f(x) = 1 se x ≥ 0 e f(x) = 0 se x < 0. Prove que f não é contínua em 0, usando a negação que você escreveu na questão 1. Exiba o ε e mostre que nenhum δ serve. confiança: 1 · 2 · 3
10. (Ache o erro.) Critique esta "prova" de que f(x) = x² é contínua em 2:

"Dado ε > 0, tome δ = ε/|x + 2|. Então |x − 2| < δ implica |x² − 4| = |x − 2|·|x + 2| < δ·|x + 2| = ε. ∎"

  1. O que está quebrado, exatamente?
  2. Escreva a prova certa.
  3. Agora prove que x² é contínua em p = 100. O δ da prova em (b) ainda serve? Qual é o novo δ, e o que isso diz sobre "de que o δ pode depender"?
confiança: 1 · 2 · 3
11. (Na sua voz, de 3 a 5 linhas, sem fórmula nova.) Suponha que um certo δ funciona para um certo ε.
  1. Um δ′ < δ também funciona para o mesmo ε? Por quê?
  2. O mesmo δ funciona para um ε′ < ε? E para ε′ > ε?
  3. Então por que em tanta prova você pode escrever "tome δ ≤ 1" sem pedir licença, mas não pode escrever "tome ε ≤ 1" do mesmo jeito?
confiança: 1 · 2 · 3
12. (Produto.) Sejam f e g contínuas em p.
  1. Prove que existem δ₀ > 0 e M > 0 tais que |f(x)| ≤ M para x ∈ Df, |x − p| < δ₀.
  2. Somando e subtraindo um termo conveniente, mostre que |f(x)g(x) − f(p)g(p)| ≤ |f(x)|·|g(x) − g(p)| + |g(p)|·|f(x) − f(p)|.
  3. Conclua que fg é contínua em p. Diga de onde sai cada pedaço do δ final.
confiança: 1 · 2 · 3
13. (Manipular a definição.) Prove que trocar "|f(x) − f(p)| < ε" por "|f(x) − f(p)| ≤ ε" na definição de continuidade dá uma definição equivalente. As duas direções. confiança: 1 · 2 · 3
Bônus (só se sobrar fôlego). Suponha f contínua em p com f(p) ≠ 0.
  1. Prove que existe δ > 0 tal que |f(x)| > |f(p)|/2 para x ∈ Df, |x − p| < δ.
  2. Conclua que 1/f é contínua em p.
confiança: 1 · 2 · 3