Limites pela definição formal (ε-δ)

Lista de exercícios — cálculo bruto de δ e questões conceituais · calibrada para de-enferrujar, não para começar do zero

Como usar. A seção A é uma escada: cada exercício introduz um truque novo. Antes de cada ε-δ bruto, tente adivinhar a forma do δ antes de calcular — use a intuição como hipótese e o cálculo como teste. As seções C e D testam se a definição virou língua ou continua cerimônia.

Ordem recomendada. A1–A5 numa sentada (mecânica pura, para destravar a mão); depois C1 + D1 juntas; D8 por último — é a ponte para continuidade e sequências.

A. Cálculo bruto de δ — a escada de técnicas

Cada item adiciona exatamente uma técnica à anterior.

A1 — Aquecimento numérico. Para limx→3 (2x − 1) = 5: encontre um δ que funcione para ε = 0,1; depois para ε = 0,01; depois δ(ε) geral. caso linear — δ = ε/|coeficiente|.
A2. Prove limx→−2 (3 − 4x) = 11.
A3 — O clássico. Prove limx→2 x² = 4. |x² − 4| = |x−2|·|x+2| — é preciso limitar |x+2|, e para isso impõe-se δ ≤ 1 primeiro. É o truque do δ = min(1, ε/5). Entenda POR QUE o min é necessário — a conceitual D4 volta nisso.
A4. Prove limx→−1 (x² + 2x) = −1.
A5. Prove limx→1 x³ = 1. mesmo truque do A3, fator de grau maior.
A6. Prove limx→2 1/x = 1/2. o denominador precisa ficar LONGE de zero — escolha δ que impeça x de chegar perto de 0.
A7. Prove limx→4 √x = 2. multiplicar pelo conjugado — |√x − 2| = |x − 4| / (√x + 2).
A8. Prove limx→0 x·sen(1/x) = 0. aqui δ = ε direto — o sanduíche dentro da definição. Note que a função nem é definida em 0, e isso não importa.
A9. Prove limx→3 (x² − 9)/(x − 3) = 6. A função tem um buraco em x = 3. Por que a definição não se incomoda?

B. Variações da definição

B1. Escreva, do zero e sem consultar, as definições formais de: (a) limx→a⁺ f(x) = L; (b) limx→∞ f(x) = L; (c) limx→a f(x) = +∞. Só depois confira num livro. exercício de escrita de quantificadores, não de cálculo.
B2. Prove limx→∞ 1/x = 0 e limx→0 1/x² = +∞ usando as definições que você escreveu em B1.
B3. Prove limx→∞ (2x + 1)/(x + 3) = 2.

C. Não-existência — o jogo da negação

C1 — Primeiro a arma. Escreva a negação formal da definição de limite (todos os quantificadores invertidos: existe ε > 0 tal que para todo δ > 0 existe x com…). Faça mecanicamente, símbolo a símbolo, antes de usar.
C2. Prove que limx→0 |x|/x não existe. mostre que nenhum L serve — para qualquer candidato L, exiba o ε que mata.
C3. Prove que limx→0 sen(1/x) não existe. mais duro que C2: a função oscila em vez de saltar. Escolha duas sequências de pontos que teimam em valores diferentes.
C4 — Dirichlet. f(x) = 1 se x ∈ ℚ, 0 caso contrário. Prove que limx→a f(x) não existe para nenhum a.

D. Conceituais — a definição em si é o objeto

D1 — Ordem dos quantificadores. A definição diz ∀ε ∃δ. Considere a versão trocada: ∃δ > 0 ∀ε > 0, |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε. Que classe de funções satisfaz ISSO? a resposta é surpreendentemente restritiva — derive.
D2 — Unicidade. Prove que se o limite existe, ele é único. o argumento ε/2 + desigualdade triangular. É o "hello world" das provas com ε.
D3 — Limitação local. Prove: se limx→a f(x) = L, então f é limitada em alguma vizinhança perfurada de a.
D4 — Ache o erro. Critique esta "prova" de que limx→2 x² = 4: "Dado ε, tome δ = ε/|x + 2|. Então |x − 2| < δ implica |x² − 4| = |x − 2|·|x + 2| < δ·|x + 2| = ε. ∎" — O que está quebrado, exatamente, e por que o min(1, ε/5) do A3 é o conserto?
D5 — Monotonia do δ. Prove: se um δ funciona para um dado ε, qualquer δ′ < δ também funciona. E se ε′ > ε? Consequência: por que "existe δ" é a exigência certa, e não "para todo δ"?
D6 — f(a) é irrelevante. Construa três funções com limx→1 f(x) = 5 onde: (a) f(1) = 5; (b) f(1) = 0; (c) f(1) não é definida. Aponte a cláusula exata da definição (0 < |x − a|) que permite isso.
D7 — Permanência de sinal. Prove: se limx→a f(x) = L > 0, então existe vizinhança perfurada de a onde f(x) > 0. um ε específico e bem escolhido faz todo o trabalho. Qual?
D8 — Caracterização sequencial. Prove: limx→a f(x) = L se, e somente se, para TODA sequência xn → a com xn ≠ a, vale f(xn) → L. a ida é direta; a volta é por contrapositiva e é onde mora o aprendizado. Depois, refaça C3 em duas linhas usando isto.
D9 — δ depende de a. Para f(x) = x² e ε = 1 fixo, estime o maior δ que funciona em a = 1, a = 10, a = 100. O que acontece quando a cresce? você acabou de descobrir por que continuidade uniforme precisa existir como conceito separado.
D10 — Verdadeiro ou falso (com prova ou contraexemplo):

Gabarito. Comentado, sob demanda — de preferência depois de bater a cabeça nos que travarem. Diga quais travaram: isso interessa mais que as respostas.

Onde isto se encaixa. Esta lista é o ginásio do estágio 2 do frame dos três estágios do rigor (Terence Tao) — o artefato tres-estagios-do-rigor no blog do turing. A dor de "parar pra entender a matemática" é o pedágio do estágio, não sinal de que você desaprendeu.