Desigualdade triangular em ε-δ — continuidade
A técnica que os Exercícios 3.2.23, 3.2.24 e 3.2.27 do Guidorizzi cobram mas os exemplos do texto nunca modelam · continuidade primeiro, limite depois
Por que você trava exatamente aqui. Não é falta de base — é um degrau que o livro pula, somado a quatro inversões que ninguém avisa:
- Inversão de direção. Você conheceu |a + b| ≤ |a| + |b| como algo que AUMENTA o lado direito. Em ε-δ ela é usada para provar pequenez: o movimento não-dito é "basta uma cota superior suficiente, não uma igualdade". Estimar por cima para concluir por baixo.
- Orçamento de erro. O ε/2 (ou ε/3) parece constante mágica. Não é: são 2 termos, cada um recebe metade do orçamento. O fator vem da contagem de parcelas, derivado no rascunho — nunca adivinhado.
- Empilhamento de habilidades. A linha com a triangular é onde se encontram, de uma vez: reescrever algebricamente (somar-e-subtrair), dividir o erro, e domar o fator que depende de x (restringindo δ ≤ 1). Uma delas bambeia e a culpa cai na desigualdade.
- Medo da cota folgada. Estimativa não-justa NÃO invalida a prova. |x + 5| < 9 quando bastava 7? Tanto faz — δ = mín{1, ε/9} funciona igual.
O padrão (sempre o mesmo): rascunhe de trás para frente → orce ε/k entre as parcelas → dome os fatores sobrando com uma restrição local (δ ≤ 1, ou menor) → escreva a prova de frente para trás, limpa. Rascunho e prova são documentos DIFERENTES.
Onde ela se esconde no seu livro. O Guidorizzi nomeia a desigualdade triangular uma única vez: cap. 1, p. 16, Exemplo 9 (com a reversa no Exercício 1.3.7c). Depois disso ela trabalha em silêncio: na p. 72 (unicidade do limite — o somar-e-subtrair puro) e na seção 3.9, p. 96–98 (soma de contínuas com ε/2; o produto ele esquiva com a identidade fg = ¼[(f+g)² − (f−g)²]). Enquanto isso, os exemplos da seção 3.2 que você está lendo resolvem tudo por intervalos — e aí os Exercícios 3.2.23, 3.2.24 e 3.2.27 cobram estimativas triangulares que o texto nunca mostrou. A fricção que você sente é esse buraco, não você.
Fontes para ler — nesta ordem
- Berkeley, "Solving epsilon-delta problems" (5 pp — já no seu Drive:
resources-epsilon-delta/berk.pdf): as regras do jogo e os erros comuns — inclusive o clássico δ dependendo de x. Leia primeiro. - Charlton, "ε-δ Proofs" (4 pp — já no seu Drive:
resources-epsilon-delta/hamburg.pdf): a arte de calcular δ — por que os δ de livro têm cara de mín{1, ε/9}, e o caso em que δ ≤ 1 não basta. - ★ A fonte: Peyam Tabrizian (UC Irvine), "Lecture 24: Continuous Functions II" (21 pp — baixado para o seu Drive:
resources-epsilon-delta/uci-peyam-lecture24.pdf, original em sites.uci.edu): a técnica inteira, ensinada e não só usada. Cada teorema vem em dois blocos — "Scratchwork" e "Actual Proof" —, o termo inserido no somar-e-subtrair aparece destacado, cada parcela é classificada ("boa" vs "problemática"), o ε/2 é derivado ("o 2 está lá porque são 2 termos"), e a reversa aparece duas vezes (|f| e 1/f) com a explicação de por que a escolha ingênua ε = 1 FALHA no caso 1/f. É exatamente o documento para a sua dificuldade. - Em português, lado a lado com a seção 3.9: pt.wikibooks, "Limites e Continuidade" — as provas de soma e produto com a desigualdade NOMEADA no meio da conta ("pela desigualdade triangular: …"), a mesma prova que o Guidorizzi roda calado.
EXEMPLO (resolvido, com o rascunho à mostra). Prove que f(x) = x² é contínua em p, qualquer que seja p.
Rascunho (isto NÃO é a prova)
Quero |x² − p²| pequeno. Fatoro: |x² − p²| = |x − p|·|x + p|. O fator |x − p| é bom (eu controlo com δ); o fator |x + p| é problemático — depende de x. Domo ele: se eu já prometer δ ≤ 1, então |x − p| < 1 dá |x| < |p| + 1, e pela triangular
compare com o Exemplo 7 do livro (p. 66), que prova a MESMA função por intervalos: I = ]√(p²−ε), √(p²+ε)[. Dois caminhos, mesma verdade — mas o caminho triangular é o que generaliza (x³, x⁴, polinômio qualquer); o de intervalos precisa inverter a função a cada vez. Note também: 2|p|+1 é cota folgada e a prova nem percebe.
|x + p| ≤ |x| + |p| < 2|p| + 1.
Então |x² − p²| < (2|p| + 1)·|x − p|, e basta |x − p| < ε/(2|p| + 1).
Prova
Seja ε > 0 dado. Tome δ = mín{1, ε/(2|p| + 1)}. Se |x − p| < δ, então |x − p| < 1, logo |x + p| ≤ |x| + |p| < 2|p| + 1, e daí
|x² − p²| = |x − p|·|x + p| < ε/(2|p| + 1) · (2|p| + 1) = ε. ∎
Trilho A — cálculo bruto: domar o fator
A1 (é o 3.2.23 do livro). Seja f(x) = x + 1/x. a) Verifique que, para x > 0, |f(x) − f(1)| ≤ (1 + 1/x)|x − 1|. b) Verifique que, para x > 1/2, |f(x) − f(1)| ≤ 3|x − 1|. c) Conclua que f é contínua em 1.
o modelo do gênero: (a) é a triangular em |(x−1) + (1/x − 1)|; (b) doma o fator restringindo x; (c) fecha com δ = mín{1/2, ε/3}. Faça este primeiro.
A2 (é o 3.2.24). Seja f(x) = x³ + x. a) Verifique que, para 0 ≤ x ≤ 3, |f(x) − f(2)| ≤ 20|x − 2|. b) Conclua que f é contínua em 2.
A3 (no molde do 3.2.27). Sejam f(x) = x⁴ e p ≠ 0. a) Verifique que |x⁴ − p⁴| ≤ 15|p|³·|x − p| para |x| ≤ 2|p|. b) Conclua que f é contínua em p.
fatore x⁴ − p⁴ = (x − p)(x³ + x²p + xp² + p³) e aplique a triangular no fator: |x³ + x²p + xp² + p³| ≤ 8|p|³ + 4|p|³ + 2|p|³ + |p|³. Depois refaça o 3.2.27 do livro (x³, cota 7p²) — mesma manobra, um grau a menos.
A4. Prove pela definição que f(x) = x² − 5x + 1 é contínua em 2.
|f(x) − f(2)| = |x − 2|·|x − 3|; dome |x − 3| com δ ≤ 1.
A5. Prove pela definição que f(x) = √x é contínua em 2.
aqui a triangular nem aparece: |√x − √2| = |x − 2|/(√x + √2) ≤ |x − 2|/√2. O jogo é o mesmo — limitar o fator — mas a ferramenta muda (conjugado + cota INFERIOR do denominador). Reconhecer o jogo sem a ferramenta é sinal de que você entendeu o jogo.
A6. Prove pela definição que f(x) = 1/(x² + 1) é contínua em 2.
|f(x) − f(2)| = |x − 2|·|x + 2| / (5(x² + 1)); cota superior para |x + 2| (triangular), cota inferior para x² + 1 (aqui, grátis: ≥ 1). É a versão-miniatura do teorema de 1/f do Trilho B.
A7 (quando δ ≤ 1 NÃO basta). Prove que f(x) = 1/(x − 3) é contínua em 4 — e explique por que a restrição habitual δ ≤ 1 falha aqui, obrigando δ ≤ 1/2.
com δ = 1, o intervalo ]3, 5[ encosta na assíntota em x = 3 e o denominador |x − 3| não tem cota inferior positiva. A lição: "δ ≤ 1" não é rito, é escolha — restrinja o quanto a geometria da função mandar.
A8 (triangular na própria cota). Prove que f(x) = x³ − 2x é contínua em 1, fatorando x³ − 2x + 1 = (x − 1)(x² + x − 1) e mostrando que, para |x − 1| < 1/2, |x² + x − 1| ≤ |x|² + |x| + 1 < 5.
a triangular aplicada DENTRO da cota do fator — o uso mais comum em polinômios genéricos.
Trilho B — conceitual: a técnica como teorema
B1 (aquecimento — cap. 1 do livro). a) Prove a desigualdade triangular reversa: ||x| − |y|| ≤ |x − y| (é o Exercício 1.3.7c). b) Prove: |x + y| = |x| + |y| ⇔ xy ≥ 0 (é o 1.3.6).
(a) sai da triangular comum aplicada a x = (x − y) + y e depois a y = (y − x) + x. Nomeie a ferramenta agora — o livro vai usá-la em silêncio daqui em diante.
B2 (soma — o ε/2). Sejam f e g contínuas em p. Prove, direto da definição em módulo (p. 62), que f + g é contínua em p.
|f(x)+g(x) − f(p) − g(p)| ≤ |f(x) − f(p)| + |g(x) − g(p)|; peça ε/2 a cada continuidade e tome δ = mín{δ₁, δ₂}. É a prova da seção 3.9(a) do livro, transposta de limite para continuidade. O 2 do ε/2 existe porque são 2 parcelas — com três parcelas seria ε/3.
B3 (limitação local — o lema que o produto precisa). Prove que se f é contínua em p, então existem um intervalo aberto I, com p ∈ I, e M > 0 tais que x ∈ I ∩ Df ⟹ |f(x)| ≤ M.
use ε = 1: |f(x)| = |f(x) − f(p) + f(p)| ≤ |f(x) − f(p)| + |f(p)| < 1 + |f(p)|. A triangular usada para PRENDER, não para abrir. (Compare com o Exercício 3.3.10 do livro.)
B4 (produto — o somar-e-subtrair). Sejam f e g contínuas em p. a) Rascunhe: insira −f(x)g(p) + f(x)g(p) em f(x)g(x) − f(p)g(p) e obtenha
|f(x)g(x) − f(p)g(p)| ≤ |f(x)|·|g(x) − g(p)| + |g(p)|·|f(x) − f(p)|.
b) Classifique cada pedaço: quais são "bons" (controláveis por δ) e qual é "problemático"? c) Dome |f(x)| com o B3 e feche a prova, orçando ε entre as duas parcelas.
o Guidorizzi ESQUIVA desta conta: na p. 98 ele prova o produto com a identidade fg = ¼[(f+g)² − (f−g)²]. Faça dos dois jeitos e compare — a identidade é elegante mas não ensina técnica nenhuma; o somar-e-subtrair é a que você vai reusar a vida inteira (é literalmente a conta da prova de que composição de lineares é contínua em análise, em espaços métricos, em análise funcional…).B5 (|f| — a reversa em ação). Prove que se f é contínua em p, então |f| é contínua em p, usando o B1a. A recíproca vale? Prove ou dê contraexemplo.
||f(x)| − |f(p)|| ≤ |f(x) − f(p)| — uma linha. Para a recíproca, procure uma f que só assume valores ±1.
B6 (1/f — onde ε = 1 FALHA). Suponha f contínua em p com f(p) ≠ 0. a) Prove que existe intervalo aberto I, p ∈ I, tal que x ∈ I ∩ Df ⟹ |f(x)| > |f(p)|/2. b) Conclua que 1/f é contínua em p. c) A pergunta central: no B3 a escolha ε = 1 funcionou; por que aqui ela falharia, obrigando ε = |f(p)|/2?
(a) é a reversa de novo: |f(x)| ≥ |f(p)| − |f(x) − f(p)|. Em (c): com ε = 1 você obteria |f(x)| > |f(p)| − 1, que pode ser negativo — cota inútil. A escolha do ε auxiliar não é rito: é ditada pelo que você precisa que sobre. (Este é o item mais importante do trilho.)
B7 (colheita). Usando máx(f, g) = ½(f + g) + ½|f − g|, prove que o máximo de duas funções contínuas em p é contínuo em p.
zero contas novas: B2 + B5 + a identidade. É o teste de que os teoremas do trilho compõem.
B8 (Lipschitz — ponte com 3.2.15 e 3.2.19). Suponha |f(x) − f(p)| ≤ M|x − p| e |g(x) − g(p)| ≤ N|x − p| para todo x. Prove que |(f + g)(x) − (f + g)(p)| ≤ (M + N)|x − p| e conclua que f + g é contínua em p.
B9 (ache o erro). Critique esta "prova" de que fg é contínua em p: "Pelo item B4a, |f(x)g(x) − f(p)g(p)| ≤ |f(x)|·|g(x) − g(p)| + |g(p)|·|f(x) − f(p)|. Como g é contínua em p, existe δ tal que |x − p| < δ ⟹ |g(x) − g(p)| < ε/(2|f(x)|); analogamente para f. Logo cada parcela fica menor que ε/2. ∎" — O que está quebrado, exatamente, e qual é o conserto?
é o erro nº 1 da lista de Berkeley: o δ (via o ε auxiliar) não pode depender de x — as regras do jogo mandam anunciar δ ANTES de conhecer x. O conserto é exatamente o B3.
Depois desta lista: volte aos 3.2.23–27 do livro (agora são rotina), e quando chegar na seção 3.9 você vai reconhecer as provas de soma e confronto como velhas conhecidas — e vai pegar o Guidorizzi usando a triangular em silêncio na p. 72 e na p. 96. A partir daí, todo ε/2 que aparecer em qualquer livro é orçamento de erro, não mágica.