Exercícios no estilo dos Exemplos 4 e 5 do Guidorizzi (vol. 1, cap. 3): provar equivalências e reformulações da própria definição de continuidade · notação: ]a, b[ intervalo aberto, Df domínio de f
O jogo. Aqui não se calcula δ para função nenhuma: a definição é o objeto. Cada exercício pede a prova de que uma reformulação (intervalo qualquer em vez de bola simétrica, ε restrito, ≤ em vez de <, Kε em vez de ε) equivale à definição original — o mesmo jogo dos Exemplos 4 e 5 do livro.
Baseline. f é contínua em p ∈ Df quando: para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ Df, |x − p| < δ ⟹ f(p) − ε < f(x) < f(p) + ε.
EXEMPLO (resolvido). Seja K > 0 um real fixo. Suponha que, para todo ε > 0 dado, exista δ > 0 tal que, para todo x ∈ Df,
|x − p| < δ ⟹ |f(x) − f(p)| < K·ε.
Prove que f é contínua em p.
Solução
Seja ε > 0 dado. Então ε/K > 0, e por hipótese existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ Df,
|x − p| < δ ⟹ |f(x) − f(p)| < K·(ε/K) = ε.
Como ε > 0 era arbitrário, f é contínua em p. ∎
o truque inteiro: a hipótese vale para TODO ε > 0, então vale em particular para ε/K. Este resultado libera você de "fechar em ε exato" — uma conta que desemboca em 3ε está terminada.
1. Prove a recíproca do Exemplo 4 do livro: se f é contínua em p, então para todo ε > 0 existe intervalo aberto I = ]a, b[, com p ∈ I, tal que, para todo x ∈ Df, x ∈ I ⟹ f(p) − ε < f(x) < f(p) + ε.
juntas, ida e volta dão: o intervalo simétrico ]p − δ, p + δ[ é cosmético. Onde exatamente a simetria foi usada — e onde nunca foi?
2. Prove que se obtém definição equivalente de continuidade trocando "|f(x) − f(p)| < ε" por "|f(x) − f(p)| ≤ ε". E trocando "existe δ > 0" por "existe δ com 0 < δ < 1"?
3. Suponha que a condição da definição valha para todo ε da forma 1/n, com n natural não nulo. Prove que f é contínua em p.
companheiro do Exemplo 5 do livro: lá, só os ε pequenos importam; aqui, basta uma SEQUÊNCIA de ε's descendo a zero.
4 — Ordem dos quantificadores. A definição diz ∀ε ∃δ. Suponha o trocado: existe δ > 0 tal que, para todo ε > 0 e todo x ∈ Df, |x − p| < δ ⟹ |f(x) − f(p)| < ε. Prove que então f é constante em ]p − δ, p + δ[ ∩ Df.
a troca de ordem não enfraquece a definição — transforma-a em outra coisa. Qual, exatamente?
5 — Caráter local. Sejam f e g com f(x) = g(x) para todo x ∈ ]a, b[, onde p ∈ ]a, b[. Prove que se g é contínua em p, então f é contínua em p.
6 — Forma bi-intervalar. Prove que f é contínua em p se, e somente se, para todo intervalo aberto ]c, d[ contendo f(p), existe intervalo aberto ]a, b[ contendo p tal que, para todo x ∈ Df, x ∈ ]a, b[ ⟹ f(x) ∈ ]c, d[.
os dois lados viraram intervalos — é a forma que sobrevive muito além de ℝ.
7 — Conservação do sinal. Suponha f contínua em p e f(p) > 0. Prove que existe δ > 0 tal que f(x) > 0 para todo x ∈ ]p − δ, p + δ[ ∩ Df.
um ε bem escolhido faz todo o trabalho. Qual?
8 — Limitação local. Prove que se f é contínua em p, então existem δ > 0 e M > 0 tais que |f(x)| ≤ M para todo x ∈ ]p − δ, p + δ[ ∩ Df.
9 — Composição. Suponha f contínua em p e g contínua em f(p), com Im f ⊂ Dg. Prove que g ∘ f é contínua em p.
puro encadeamento de ε's e δ's: o ε de g vira o... o quê de f?
10 — Ponto isolado. Suponha que p ∈ Df seja isolado: existe δ₀ > 0 tal que ]p − δ₀, p + δ₀[ ∩ Df = {p}. Prove que f é contínua em p, qualquer que seja f. Consequência: toda função definida só nos naturais é contínua em todos os pontos do domínio.
se isso soa errado, ótimo — o exercício é descobrir por que a definição não se importa.
11. Prove que se f é contínua em p, então |f| é contínua em p. A recíproca vale? Prove ou dê contraexemplo.
12 — Ache o erro. Critique esta "prova" de que f(x) = x² é contínua em p = 2: "Dado ε, tome δ = ε/|x + 2|. Então |x − 2| < δ implica |x² − 4| = |x − 2|·|x + 2| < δ·|x + 2| = ε. ∎" — O que está quebrado, exatamente, e qual é o conserto?
Nota sobre a lista bruta de δ (o outro arquivo desta pasta): ela continua válida quase inteira nesta fase — leia cada "prove limx→a f(x) = L" como "prove que f é contínua em a"; as contas de δ são idênticas. Só A8 e A9 (função com buraco no ponto) são genuinamente de limite — pule-as por ora; elas voltam quando o livro chegar lá, junto com a versão limite desta lista (onde a cláusula "x ≠ p" vira o centro da conversa).